miércoles, 18 de mayo de 2011
3.10 TEOREMA DE CONVOLUCIÓN
La propiedad de la convolución de la transformada la Laplace relaciona el producto de transformadas y tiene aplicación en el proceso de inversión de la transformada. Suponga que se tiene el producto de las funciones f(s ) y g(s) de las cuales se conocen las funciones inversas f(t ) y g(t) y se desea encontrar la función inversa del producto a partir de las funciones inversas conocidas.
Si H(s) representa el producto de las transformadas y h(t) se la función inversa del producto de la transformadas se puede calcular esta última por medio de la propiedad de la convolución de f(t) y g(t), expresada como: f(t)* g(t), donde el símbolo * es empleado para la propiedad de convolución .
La propiedad de convolución cumple las siguientes leyes
a) Conmutatividad: f(t)*g(t)=g(t)*f(t)
b) Distributividad : f(t)*¨[g1(t)+g2(t)]= f(t)*g1(t) +f(t)*g2 (t)
c) Asociatividad: f(t)*[g(t)*h(t)]=[f(t)*g(t)]*h(t)
martes, 17 de mayo de 2011
lunes, 16 de mayo de 2011
3.7 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES MULTIPLICADAS POR tn Y DIVIDIDA ENTRE t.
Considérese la función f(t) y su transformada de F(s) donde s es una variable continua. Si se deriva la función F(s) con respecto a la variable s de manera consecutiva se tiene:
De la ecuación 3 se puede concluir que al multiplicar por tn una función y obtener su transformada de Laplace , es equivalente a diferenciar la función F(s) n veces y multiplicarla por (-1)a.
De manera similar, si una función f(t) satisface las condiciones de existencia de la transformada de Laplace y además el
existe cuando t se aproxima a cero por el lado derecho , se cumple que :
Esto es la integral de la transformada de una función ʄ(t) equivalente a dividir la función entre t.
Ejemplo CÁLCULO DE UNA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Empleando la definición de la diferenciación de la transformada, encontrar
Aplicando la diferenciación de la función F(s) se tiene
domingo, 15 de mayo de 2011
jueves, 12 de mayo de 2011
3.5.1 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA FUNCIÒN ESCALÒN UNITARIO
Dos funciones que frecuentemente son usadas en la representación de funciones por tramos son la función escalón unitario y la función impulso o función delta. La función escalón está definida como:
La transformada de Laplace de la función escalón calcularse de la siguiente manera
viernes, 6 de mayo de 2011
3.5 FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO
Una función que se utiliza muy comúnmente en el estudio de análisis de señales es la función Escalón Unitario o Heaviside que se define a continuación:
DEFINICIÓN
La función Escalón Unitario o Función de Heaviside se define como:
Donde a es una constante cualquiera. La gráfica de una función escalón trasladada, por ejemplo con a = 2, es:
La amplitud de la función Heaviside puede modificarse como:
Donde k es una constante cualesquiera. Dependiendo del valor k es la gráfica de la función:
Si k > 0 entonces la gráfica se ve como: (con k = 3).
Si k < 0 entonces la gráfica se ve como: (con k = −3)
miércoles, 4 de mayo de 2011
martes, 3 de mayo de 2011
3.3 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES BÁSICAS
La transformada de Laplace se calcula algunas transformadas de funciones básicas empleando la definición integral de la transformadora de Laplace, en el apéndice 1 se enlistan algunas transformas de funciones comunes.
EJEMPLO 1
Encuentra la transformadora de Laplace de f(t)=K , donde K es una constante.
Solución:
EJEMPLO 2:
Encuentre la transformada de Laplace de f(t)= t para t >0.
EJEMPLO 3
Encuentre la transformada de Laplace de f(t)= t2 para t >0.
EJEMPLO 4
Encuentre la transformada de Laplace de f(t)= t3 para t >0.
EJEMPLO 5
Encuentre la transformada de Laplace de f(t)= tn para t >0 Y n un número entero.
EJEMPLO 6
Encuentre la transformada de Laplace de f(t)= tat para t >0 , donde a es una constante .
EL SIGUIENTE VIDEO NOS MUESTRA ALGUNOS EJEMPLOS
lunes, 2 de mayo de 2011
3.2 CONDICIONES SUFICIENTES DE EXISTENCIA PARA LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Si las siguientes condiciones son satisfechas:
1.-|f (t)|< Mta-1en el intervalo 0≤ t ≤ t0 donde M, a y t0 son algún número positivo.
2.- f (t) es una función exponencial de orden α (cualquier número real) cuando t → ∞(esto es |f(t) | < Neat para t > T donde N y T son números positivos), y
3.- f (t) es una función continua o continua en tramos (que tiene un número finito de discontinuidades finitas) en cada intervalo to ≤ t ≤ T y to > 0
Entonces F(s) existe para todo s >α. Estas últimas restricciones en S no limita el uso de la transformada ya que las restricciones son condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace.
A partir de la definición de la transformada de Laplace como una integral se tiene que si se cumple con las condiciones de la existencia, la transformada será única.
Suscribirse a:
Entradas (Atom)